Question

13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，DA∥BC，tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，若CD=2$\sqrt{17}$，则线段BC的长为，6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=45°，根据平行线的性质得到∠DAE=∠ABC=45°，设AE=DE=x，由tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，得到BE=2x，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{5}$x，AB=AC=3x，求得BC=3$\sqrt{2}$x，根据勾股定理得到DF²+CF²=CD²，即（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x）²=（2$\sqrt{17}$）²，于是得到结论．

解答 解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∵DA∥BC，
∴∠DAE=∠ABC=45°，
∴AE=DE，
设AE=DE=x，
∵tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2x，
∴BD=$\sqrt{5}$x，AB=AC=3x，
∴BC=3$\sqrt{2}$x，
∴DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
∴BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x，
∵DF²+CF²=CD²，
∴（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$x）²=（2$\sqrt{17}$）²，
∴x=2，
∴BC=6$\sqrt{2}$．
故答案为：6$\sqrt{2}$，

点评 本题考查了解直角三角形，梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．