题目内容
19．
如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；
（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．
分析 （1）首先求得C和D的坐标，证明$\frac{AG}{GC}$=$\frac{BG}{GD}$即可证得；
（2）分成PN∥DB和CD∥AB两种情况进行讨论，即可求解．
解答 （1）证明：∵四边形OMPN是矩形，OM=6，ON=3，
∴P的坐标是（6，3）．
∵点C和D都在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，且点C在PN上，点D在PM上，
∴点C（2，3），点D（6，1）．
又∵DB⊥y轴，CA⊥x轴，
∴A的坐标是（2，0），B的坐标是（0，1）．
∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1．
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BG}{GD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{BG}{GD}$，
∴AB∥CD；
（2）解：①∵PN∥DB，
∴当DE1=BC时，四边形BCE1D是等腰梯形，此时直角△CNB≌直角△E1PD，
∴PE1=CN=2，
∴点E1的坐标是（4，3）；
②∵CD∥AB，当E2在直线AB上，DE2=BC=2$\sqrt{2}$，四边形BCDE2为等腰梯形，
直线AB的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴设点E2（x，-$\frac{1}{2}$x+1），DE2=BC=2$\sqrt{2}$，
∴（x-6）2+（$\frac{1}{2}$x）2=8，
解得：x1=$\frac{28}{5}$，x2=4（舍去）．
∴E2的坐标是（$\frac{28}{5}$，-$\frac{9}{5}$）．
点评 本题考查了平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，正确对梯形进行讨论是关键．
练习册系列答案
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8．
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如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度，则第15秒时，点P的坐标是（ ）| A． | （15，1） | B． | （15，-1） | C． | （30，1） | D． | （30，-1） |
