Question

如图，若菱形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，直线经y=

3

x过点A，菱形OABC的面积为2

3

，则经过对角线交点D的反比例函数解析式为

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质,一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数解析式

专题：

分析：过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，设A的坐标是（x，

3

x），求出D的坐标，根据面积求出x的值，得出D的坐标，设过D的反比例函数的解析式是y=

k

x

，代入求出即可．

解答：
解：过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
∵A在直线y=

3

x上，
∴设A的坐标是（x，

3

x），
则tan∠AOC=

3 x

x

=

3

，
∴∠AOC=60°，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OB⊥AC，AD=CD，AO=OC，∠COD=∠AOD=30°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由勾股定理得：AO=OC=

( 3 x)2+x2

=2x，
则D的纵坐标是

1

2

AM=

3 x

2

，
∵∠COD=30°，∠OND=90°，
∴OD=2DN=

3

x，由勾股定理得：ON=

3

2

x，
∴D的坐标是（

3

2

x，

3

2

x），
∵菱形OABC的面积为2

3

，
∴2x•

3

x=2

3

，
∴x=1（x=-1舍去），
即D的坐标是（

3

2

，，

3

2

）
设过D的反比例函数的解析式是y=

k

x

，
把D的坐标代入得：k=

3 3

4

，
∴y=

3 3

4x

，
故答案为：y=

3 3

4x

．

点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，用待定系数法求反比例函数的解析式的应用，关键是求出D的坐标，题目比较典型，是一道比较好的题目．