Question

21、如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A与∠C互补，问AD与CD相等吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：本题首先可采用全等三角形的常用辅助线-截长补短法，构造全等三角形△BAD和△BED，然后利用全等三角形的性质和题目的已知条件来解决题目所求的问题．

解答：答：AD=CD．
理由如下：
证明：以B为圆心，以BA为半径画弧交BC于E，连接DE，
则BA=BE，
又∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△BAD≌△BED，
∴DE=DA，∠BAD=∠BED．
∵∠A与∠C互补，可知∠BED与∠C互补，
但∠BED与∠CED互补，
∴∠CED=∠C，
∴ED=CD，
∴AD=CD．

点评：此题考查全等三角形的判定与性质；本题中利用了截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质解题．