Question

在△ABC中，∠A=90°，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，连接EF，证明：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG，易证EF=EG，△CDF≌△BDG，可得BG=CF，∠DBG=∠C，即可求得∠ABG=90°，即可判定△BEG是直角三角形，根据勾股定理可得BE²+BG²=EG²，即可解题．

解答： 证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG，
∵∠EDF=90°，DF=DG，
∴DE垂直平分FG，
∴EF=EG，
∵D是BC中点，
∴AD=BD，
在△CDF和△BDG中，
∵

DF=DG ∠CDF=∠BDG CD=BD

，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG=CF，∠DBG=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=90°，
∴△BEG是直角三角形，
∴BE²+BG²=EG²，
∴BE²+CF²=EF²．

点评：本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质以及直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△CDF≌△BDG是解题的关键．