Question

13．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），S_△EBC=$\frac{1}{2}$b（a-b），S_{四边形AECD}=$\frac{1}{2}$c²，
则它们满足的关系式为$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为41千米（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP 的距离．
【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式$\sqrt{{x^2}+9}+\sqrt{{{（16-x）}^2}+81}$的最小值（0＜x＜16）

Answer 1

分析 【小试牛刀】根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
【知识运用】（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
（2）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可．
【知识迁移】根据轴对称-最短路线的求法即可求出．

解答 解：【小试牛刀】S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），S_△EBC=$\frac{1}{2}$b（a-b），S_{四边形AECD}=$\frac{1}{2}$c²，
它们满足的关系式为：$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²，
答案为：$\frac{1}{2}$a（a+b），$\frac{1}{2}$b（a-b），$\frac{1}{2}$c²，$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²．

【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=25-16=9千米，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+4{0}^{2}}$=41（千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41．

（2）如图2②所示：

设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，
在Rt△ADP中，DP²=AP²+AD²=x²+24²，
在Rt△BPC中，CP²=BP²+BC²=（40-x）²+16²，
∵PC=PD，
∴x²+24²=（40-x）²+16²，
解得x=16，
即AP=16千米．

【知识迁移】：如图3，

代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值为：$\sqrt{（9+3）^{2}+1{6}^{2}}$=20．

点评 本题考查了四边形综合以及用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．