Question

13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∠ABC=75°，∠DBC=30°，BC=2，则BD的长度为1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用平行四边形的性质得出AD=BC，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△CBF，得出DE=BF，求出BE、DE即可解决问题．

解答 （1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
则∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°．
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFC}\\{∠ADE=∠CBF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴DE=BF．
∵∠ABC=75°，∠DBC=30°，
∴∠ABE=75°-30°=45°．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=75°-30°=45°
∵AD=BC=2，∠ADE=∠CBF=30°，
∴在Rt△ADE中，AE=1，
DE=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$．
在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°
故AE=BE=1．
∴BD=BE+DE=1+$\sqrt{3}$．
故答案为1+$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，得出△ADE≌△CBF是解题关键．