Question

2．如图1，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B
（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB为非直径的弦，如图2，AE是⊙O的切线吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）因为直线DE经过圆上A点，所以欲证AE是切线，只需证明DE⊥AB，即证∠EAB=90°即可．根据直径所对的圆周角是直角代换后可证；
（2）连接AO并延长交圆于点D，连接DC，构造（1）的图形，运用相同思路可证是切线．

解答 解：（1）AE是⊙O的切线
理由：如图1，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠CAB=90°．
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAB=90°，即∠EAB=90°，
∴AE是⊙O的切线；

（2）AE是切线．理由如下：
如图2，连接AO并延长交圆于点D，连接DC．
∵∠B=∠D，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠D．
根据（1）的证明可知，AE是⊙O的切线

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．