Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．
（1）当t为何值时，四边形PCDQ的面积为36cm²？
（2）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PCDQ是等腰梯形？
（4）当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据AD、BC的值和点Q的速度是1cm/s，点P的速度是2cm/s，求出QD、CP的值，再根据梯形的面积公式代入计算即可；
（2）分两种情况讨论：P未到达C点时和P到达C点并返回时，分别列出方程，8-t=10-2t，8-t=2t-10，再解方程即可；
（3）根据四边形为等腰梯形，则只有点P到达点C，再返回后才能构成等腰梯形，过点D作DF⊥BC，QE⊥BC，求出PE、EF=8-t，列出方程2t-10=4+（8-t），再解方程即可；
（4）①若PQ=PD，过P作PE⊥AD于E，则QD=8-t，QE=

1

2

QD=

1

2

（8-t），根据AE=BP，得出

1

2

（8+t）=2t，若点P到达点C，再返回后，PQ=PD，得出t+

8-t

2

=10-（2t-10）；②若QD=QP，过Q作QF⊥BC于F，则QF=6，FP=2t-t=t，根据勾股定理得6²+t²=（8-t）²，若QD=PD，过D作DE⊥BC于E，得出QD=8-t，PE=8-2t，根据勾股定理得：6²+（8-2t）²=（8-t）²，再分别解方程即可．

解答：解：（1）∵AD=8cm，BC=10cm，点Q的速度是1cm/s，点P的速度是2cm/s，
∴QD=AD-AQ=8-t，
CP=BC-AP=10-2t，
∴当点P未到达点C时，四边形PCDQ的面积=

1

2

（8-t+10-2t）×6=36，
解得t=2；
当点P到达点C返回时，四边形PCDQ的面积=

1

2

（8-t+2t-10）×6=36，
解得t=14秒（不符合题意，舍去）；
所以，t=2s时，四边形PCDQ的面积为36cm²；

（2）①P未到达C点时，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴8-t=10-2t，
解得t=2；
②P到达C点并返回时，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴8-t=2t-10，
解得t=6，
答：t为2或6时，四边形PCDQ为平行四边形；
（3）若四边形为等腰梯形，则只有点P到达点C，再返回后才能构成等腰梯形，
过点D作DF⊥BC，QE⊥BC，
则PE=CF=10-8=2cm，EF=DQ=8-t，
2t-10=4+（8-t），解得：t=

22

3

．

（4）①如图，若PQ=PD，过P作PE⊥AD于E，
则QD=8-t，QE=

1

2

QD=

1

2

（8-t），
AE=AQ+QE=t+

1

2

（8-t）=

1

2

（8+t），
∵AE=BP，
∴

1

2

（8+t）=2t，
解得t=

8

3

；
若点P到达点C，再返回后，PQ=PD，
则t+

8-t

2

=10-（2t-10），
解得：t=

32

5

；
②如图，若QD=QP，过Q作QF⊥BC于F，
则QF=6，FP=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

，
若QD=PD，过D作DE⊥BC于E，
则QD=8-t，PE=8-2t，
在Rt△DPE中，由勾股定理得：6²+（8-2t）²=（8-t）²，
此方程无解；
综上所述，当t=

8

3

或

32

5

或

7

4

时，△DPQ是等腰三角形．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是等腰梯形的性质，平行四边形的对边相等的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．