Question

【题目】已知：如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）若PQ＝2，BE＝5，求PE的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PE=1．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠BAE=∠C=60°，证明△ABE≌△CAD

（2）根据直角三角形的性质得到BP=2PQ，再根据题意BP=2PQ =4，则PE =1.

(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
(2) ∵△ABE≌△CAD,

∴∠ABE=∠CAQ，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°∠BPQ=90°60°=30°，
∴BP=2PQ.

∵PQ＝2，BE＝5，

则BP=2PQ =4，PE = BE- PB＝5-4=1.