Question

已知某二次函数的图象与轴分别相交于点和点，

与轴相交于点，顶点为点。

⑴求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；

⑵如图①，当时，点为第三象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，试求出与点的横坐标之间的函数关系式及的最大值；

⑶如图②，当取何值时，以、、三点为顶点的三角形与相似？

		图②
	图①

Answer 1

解：⑴∵该二次函数的图象与轴分别相交于点和点，

∴设该二次函数的解析式为

∵该二次函数的图象与轴相交于点，

∴，故

∴该二次函数的解析式为

⑵当时，点的坐标为，该二次函数的解析式为

∵点的坐标为，点的坐标为

∴直线的解析式为，即

过点作轴于点，交于点

∵点为第三象限内抛物线上的一个动点且点的横坐标为

∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为

∴

∴当时，有最大值；

另解：

∵，∴，∴，∴，

∴（其余略）

再解：

⑶∵，∴点的坐标为

∴

∵是直角三角形，∴欲使以、、三点为顶点的三角形与相似，必有

①若在中，，则，即

化简整理得：，∵，∴（舍去负值）

此时，，，∴

∵且，∴与相似，符合题意；

②若在中，，则，即

化简整理得：，∵，∴（舍去负值）

此时，，，∴

虽然，但是，∴与不相似，应舍去；

∴综上所述，只有当时，以、、三点为顶点的三角形与相似。