如图.在平面直角坐标系中.直线y=kx+n与抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+c交于A.B两点.点A在x轴上.OA=2.点B的横坐标为-8.且tan∠OAB=$\frac{3}{4}$．(1)求直线AB和抛物线的解析式,(2)点P是位于直线AB上方的抛物线上一动点.过点P作x轴的垂线.垂足为C.交直线AB于点D.过点P作PE⊥AB于点E.交x轴于点H:①设△PDE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+n（k≠0）与抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，OA=2，点B的横坐标为-8，且tan∠OAB=$\frac{3}{4}$．
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）点P是位于直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，过点P作PE⊥AB于点E，交x轴于点H：
①设△PDE的周长为m，点P的横坐标为t，求m与t的函数关系式；
②连接PA，以PA为边在PA的下方作如图所示的正方形APFQ，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，请直接写出当顶点Q恰好落在y轴上时P点的坐标．

分析（1）先求出点A坐标，在根据正切值求出点B坐标．进一步求出直线AB解析式即可；把A，B，坐标代入即可求出、抛物线解析式；
（2）①设出点P坐标，表示点D坐标结合三角函数即可表示三角形的周长；
②根据题意先论证△ACP≌△AOQ，求出CP长度，代入抛物线解析式求解即可．

解答解：（1）如图1

点A在x轴上，OA=2，
∴点A（2，0），
由tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，可设直线AB的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+n，
代入点A（2，0）解得：n=$-\frac{3}{2}$，
∴直线AB解析式为：y=$\frac{3}{4}$x$-\frac{3}{2}$，
过点B作BG⊥x轴，垂足为G，
把x=-8代入直线AB，解得：y=$-\frac{15}{2}$，
∴点B（-8，$-\frac{15}{2}$），
∵抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+c过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1+2b+c}\\{-\frac{15}{2}=-16-8b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$，
（2）如图2

①令P（t，$-\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{3}{4}t+\frac{5}{2}$），∴D（t，$\frac{3}{4}t-\frac{3}{2}$），
∴PD=$-\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+4$，
∵∠ACP=∠PEA=90°，∠PHC=∠AHE，
∴∠OAB=∠EPD，
∵tan∠OAB=tan∠EPD=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DE}{PE}=\frac{3}{4}$，
令DE=3a，则PE=4a，∴PD=5a，
即$-\frac{1}{4}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+4=5a$，
∴a=$-\frac{1}{20}{t}^{2}-\frac{3}{10}t+\frac{4}{5}$，
又∵m=PD+DE+EP=12a=$-\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{18}{5}t+\frac{48}{5}$，
②当顶点Q恰好落在y轴上时，
∵∠PAC+∠OAQ=∠OAQ+∠AQO=90°
∴∠PAC=∠AQO，
在△ACP和△QOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠AQO}\\{∠AOQ=∠ACP=90°}\\{AQ=AP}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△QOA，
∴PC=OA=2，
把y=2代入抛物线解析式得：$-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$=2，
解得：x=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，或x=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
∴此时点P的坐标为：（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，2），（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，2）．