Question

9．已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为$\frac{c+b-c}{2}$的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出$\frac{OF}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，代入求出y即可；连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出$\frac{OE}{BD}$=$\frac{AE}{OD}$，代入即可求出r=$\frac{ab}{a+b}$；设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a-x+b-x=c，求出x即可．

解答 解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1），
同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a-x+b-x=c，求出x=$\frac{a+b-c}{2}$，故本选项正确；
B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），
则△BCA∽△OFA，
∴$\frac{OF}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{y}{a}$=$\frac{b-y}{c}$，
解得：y=$\frac{ab}{a+c}$，故本选项错误；
C、连接OE、OD，
∵AC、BC分别切圆O于E、D，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∵OE=OD，
∴四边形OECD是正方形，
∴OE=EC=CD=OD，
设圆O的半径是r，
∵OE∥BC，
∴∠AOE=∠B，
∵∠AEO=∠ODB，
∴△ODB∽△AEO，
∴$\frac{OE}{BD}$=$\frac{AE}{OD}$，
$\frac{r}{a-r}$=$\frac{b-r}{r}$，
解得：r=$\frac{ab}{a+b}$，故本选项错误；
D、从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；
容易知道BD=BF，所以AD=BD-BA=BF-BA=a+x-c；
又∵b-x=AE=AD=a+x-c；所以x=$\frac{b+c-a}{2}$，故本选项错误．
故选：A．

点评 本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．