Question

19．如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作GD∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD；
（1）求证：△ADG是等边三角形；
（2）求证：△AGE≌△DAC；
（3）过点E作EF∥DC，交BC于点F，连接AF，求∠AEF的度数．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件和等边三角形的性质可证明∠ADG=∠ACB=∠ABC=60°，进而可证明△ADG是等边三角形；
（2）易证AG=AD，EG=AC，由全等三角形的判定方法SAS即可证明△AGE≌△DAC；
（3）结合（2）可得∠AEF=∠AEG+∠FEG=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
又∵GD∥BC，
∴∠ADG=∠ACB=∠ABC=60°，
∴△ADG是等边三角形；          
（2）∵△ADG是等边三角形，
∴∠DAG=∠ADG=∠AGD=60°，AD=AG=DG，
又∵DE=DB，
∵DE+DG=DB+AD，
即EG=AB，
又∵AB=AC，
∴EG=AC，
在△AGE和△DAC中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{∠DAG=∠AGD}\\{EG=AC}\end{array}\right.$
∴△AGE≌△DAC（SAS）；          
（3）∵△AGE≌△DAC，
∴∠AEG=∠ACD，
又∵EF∥DC，GD∥BC，
∴∠DCB=∠EFB，∠EFB=∠FEG，
∴∠DCB=∠FEG，
∴∠AEF=∠AEG+∠FEG=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质、等边三角形的判断和性质以及三角形外交和定理，题目的综合性较强，难度中等，熟记全等三角形的各种判断方法是解题的关键．