Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆，设点Q运动的时间为ts。

⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值。

Answer 1

解⑴直线与⊙P相切， 如图，过点P作PD⊥AB，垂足为D， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∵AC=6cm，BC=8cm， ∴AB==10cm， ∵P为BC的中点， ∴PB=4cm， ∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC， ∴△PBD∽△ABC， ∴，即，∴PD=2.4（cm）， 当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm）， ∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径， ∴直线与⊙P相切； ⑵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径， ∴OB=AB=5cm， 连接OP，∵P为BC的中点， ∴OP=AC=3cm， ∵点P在⊙O内部， ∴⊙P与⊙O只能内切， ∴5-2t=3或2t-5=3， ∴t=1或4， ∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4。