已知:在平面直角坐标系中.点O为坐标原点.△ABC的顶点A.点B.C分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上.∠ACB=90°.∠BAC=60°．(1)求点B的坐标,(2)动点E从点B出发以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动.设点E的运动时间为t秒.△ABE的面积为S.求S与t的关系式,的条件下.点E出发的同时.动点F从点C出发以每秒1个单位的速度.沿CO向终点O运动.点F停止时.点E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点A（-2，0），点B、C分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°．
（1）求点B的坐标；
（2）动点E从点B出发以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，设点E的运动时间为t秒，△ABE的面积为S，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，点E出发的同时，动点F从点C出发以每秒1个单位的速度，沿CO向终点O运动，点F停止时，点E也随之停止．连接EF，以EF为边在EF的上方作等边△EFH，连接CH，当点C（0，2$\sqrt{3}$），CH=$\sqrt{3}$时，求t的值．

分析（1）根据A的坐标确定出OA的长，在直角三角形AOC中，利用锐角三角函数定义求出CO的长，进而求出OB的长，确定出B的坐标即可；
（2）根据三角形函数定义求出BC的长，作ED垂直于AB，表示出BE，ED，BD，进而表示出E坐标，由AB为底，ED为高表示出S与t的关系式即可；
（3）根据C的坐标，表示出FC与BE的长，取CE上一点M，使ME=FC，利用SAS得到三角形CFH与三角形MEH全等，利用全等三角形对应角相等得到∠CHF=∠MHE，确定出∠CHM为60°，利用两边相等且有一个角为60°的三角形为等边三角形得到三角形CHM为等边三角形，得到MH=CM，根据CB的长列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答解：（1）∵A（-2，0），
∴OA=2，
∵∠BAC=60°，
∴CO=AOtan60°=2$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCB=90°-30°=60°，
∴BO=OCtan60°=6，
∴B（6，0）；
（2）根据题意得：BC=$\frac{CO}{sin30°}$=4$\sqrt{3}$，作ED⊥AB于点D，
则BE=t，ED=$\frac{1}{2}$t，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴E（6-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，$\frac{1}{2}$t），
∴S=$\frac{1}{2}$AB•ED=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{1}{2}$t=2t（0≤t≤4$\sqrt{3}$）；
（3）∵C（0，2$\sqrt{3}$），∴FC=BE=t（t≤2$\sqrt{3}$），
取CE上一点M，使ME=FC，
∵∠1+∠2=60°，∠FCE+∠CFE+∠2=180°，
∴60°+∠3+60°+∠2=180°，
∴∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
在△CFH和△MEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=ME}\\{∠3=∠1}\\{FH=EH}\end{array}\right.$，
∴△CFH≌△MEH（SAS），
∴∠CHF=∠MHE，
∵∠FME+∠FHM=60°，
∴∠CHF+∠FHM=∠CHM=60°，
∵CH=HM，
∴△CHM为等边三角形，
∴CM=CH=$\sqrt{3}$，
∵CB=CM+ME+BE=$\sqrt{3}$+t+t=4$\sqrt{3}$，
解得：t=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．