Question

2．数学是一种研究数、式、几何形体特点的自科学，数学存在着各种现象、规律和内在联系．如：正方的对角线与边长之比为$\sqrt{2}$；含有30°的直角三角形较长的直角边与较短的直角边之比为$\sqrt{3}$．
利用上面的两个规律解决下面的图形变换问题．
已知：如图①正方形ABCD与正方形EFGH中，点H与点A重合，点E、F、G分别在AB、AC、AD上．
（1）DG与BE有怎样的关系DG=EB；$\frac{CF}{DG}$=$\sqrt{2}$（直接写出答案无需证明）
（2）若将正方形EFGH绕点A逆时针旋转到图②的位置，（1）中的结论是否仍然都成立？为什么？
（3）若果将正方形EFGH沿着AC平移，如图③，当点F与点C重合时运动停止．
①若AB=5cm，HE=1cm，令将正方形EFGH动速度为$\sqrt{2}$cm/s，运动时间为t．求：当t为何值时△DHF为等腰三角形？
②若AB=a，HE=b，正方形EFGH运动的过程中是否存在某一时刻使△DHF为正三角？若存在直接写出$\frac{b}{a}$的值；若不存在请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可知：AD=AB，AG=AE，从而可得到DG=EB；由AC=$\sqrt{2}AD$，AF=$\sqrt{2}AG$，可知：FC=AC-AF=$\sqrt{2}AD-\sqrt{2}AG$，从而可求得答案；
（2）连接AF，由旋转的性质可知∠BAE=∠DAG，从而可证明△DGA≌△BEA，故此DG=BE，由旋转的性质可知∠CAF=∠DAG，根据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可证明△DGA∽△CFA，由相似三角形的性质可求得$\frac{CF}{DG}=\sqrt{2}$；
（3））①如图3所示：连接BD交AC于点O．先求得OD$\frac{5\sqrt{2}}{2}$和HF=$\sqrt{2}$，从而可知：HF＜DH，HF＜DF，故此DH=DF，由等腰三角形三线合一的性质可知：OH=OF，然后由OA=OC可得到AH=FC=2$\sqrt{2}$，由t=$\frac{AH}{\sqrt{2}}$可求得t=2；②如图4所示：连接BD交AC于点O．由△△DHF为等边三角形可知：∠HDO=30°，由特殊锐角三角函数值可知：OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}DO$，从而可得到HF=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$，然后再根据HF=$\sqrt{2}b$可求得：$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，
∴AD=AB，AG=AE．
∴AD-AG=AB-AE，即DG=EB．
∵AC=$\sqrt{2}AD$，$AF=\sqrt{2}AG$，
∴FC=AC-AF=$\sqrt{2}AD-\sqrt{2}AG$=$\sqrt{2}（AD-AG）$．
∴$\frac{CF}{DG}=\frac{\sqrt{2}（AD-AG）}{AD-AG}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：DG=EB；$\sqrt{2}$．
（2）成立．
理由：如图2所示，连接AF．

由旋转的性质可知：∠BAE=∠DAG．
在△DGA和△BEA中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△DGA≌△BEA．
∴DG=BE．
∵AF：AG=$\sqrt{2}$，AC：AD=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AC}{AD}$．
由旋转的性质可知：∠CAF=∠DAG
∴△DGA∽△CFA．
∴$\frac{FC}{DG}=\frac{AC}{AD}=\sqrt{2}$．
（3）①如图3所示：连接BD交AC于点O．

由正方形的性质可知：OD⊥AC，OD=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×AB=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
由垂线段最短可知：DF＞OD，DH＞OD．
又∵HF=$\sqrt{2}HE$=$\sqrt{2}$，
∴HF＜DH，HF＜DF．
∵△DHF为等腰三角形，
∴DH=DF．
∵DH=DF，DO⊥HF，
∴OH=OF．
又∵OA=OC，
∴AH=FC．
∴AH=FC=$\frac{1}{2}（AC-FH）$=$\frac{1}{2}×（5\sqrt{2}-\sqrt{2}）$=2$\sqrt{2}$．
∴t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2．
∴当t=2s时，△DFH为等腰三角形．
②存在．
理由：如图4所示：连接BD交AC于点O．

∵△DHF为等腰三角形，
∴DH=DH．
∵DH=DF，DO⊥AC，
∴∠HDO=$\frac{1}{2}$∠HDF=$\frac{1}{2}×60°$=30°．
∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}DO$．
∴HF=$\frac{\sqrt{3}}{3}DB=\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{2}×a$=$\frac{\sqrt{6}a}{3}$．
∵HF=$\sqrt{2}b$，
∴$\frac{\sqrt{6}a}{3}=\sqrt{2}b$．
∴$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的性质、特殊锐角三角形函数值、图形的旋转和平移，熟练掌握相关图形的性质是解答本题的关键．