Question

如图，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，根据旋转的性质可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，然后求出∠EAP=∠PAQ=45°，再利用“边角边”证明△APE和△APQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PQ=PE，再根据PE=PB+BE等量代换即可得证．

解答：证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
由旋转的性质得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵∠PAQ=45°，
∴∠EAP=∠PAQ=45°，
在△APE和△APQ中，

AE=AQ ∠EAP=∠PAQ=45° AP=AP

，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴PQ=PE，
∵PE=PB+BE，
∴PQ=PB+DQ．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．