Question

1．（1）问题发现
如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接AE．
填空：
①∠AEC的度数为120°；
②线段AE、BD之间的数量关系为AE=BD．
（2）拓展探究
如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=2，点P在以AC为直径的半圆上，AP=1，①∠DPC=45°°； ②请直接写出点D到PC的距离为$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①利用等边三角形的性质，易得CE=CD，CA=CB，∠ECA=60°-∠ACD，∠DCB=60°-∠ACD，再利用全等三角形的判定证得△ECA≌△DCB，利用全等三角形的性质与外角的性质得出结论；②利用全等三角形的性质得出结论；
（2）利用等腰直角三角形的性质易得∠ECA=∠DCB，再利用全等三角形的判定证得△ECA≌△DCB，利用全等三角形的性质与外角的性质得出结论；
（3）①四边形ABCD为正方形，点P在以AC为直径的半圆上，易得A，P，C，D四点共圆，得出∠DPC=∠DAC=45°；
②由勾股定理得PC=$\sqrt{{AC}^{2}{-AP}^{2}}$=$\sqrt{7}$，在利用等腰直角三角形得出DM=PM，进而利用勾股定理得出点D到PC的距离．

解答 解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECA=60°-∠ACD，∠DCB=60°-∠ACD，
在△ECA与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECA=∠DCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠AEC=∠BDC=∠CED+∠CDE=60°+60°=120°，
故答案为：120°；
②∵△ECA≌△DCB，
∴AE=BD，
故答案为：AE=BD；

（2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ECA=90°-∠ACD，∠DCB=90°-∠ACD，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECA=∠DCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠AEC=∠BDC=135°，BD=AE，
∴∠AEB=∠AEC-∠BEC=135°-45°=90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM=MD，
∵BM=BD+DM，
∴BM=AE+CM；

（3）①四边形ABCD为正方形，点P在以AC为直径的半圆上，
∴∠APC+∠ADC=90°+90°=180°，
∴A，P，C，D四点共圆，
∴∠DPC=∠DAC=45°，
故答案为：45°；
 ②过点D作DM⊥PC，垂足为M，
∵在正方形ABCD中，CD=2，点P在以AC为直径的半圆上，AP=1，
∴AC=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{{AC}^{2}{-AP}^{2}}$=$\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DPC=45°，
∴DM=PM，
设DM=PM=x，则MC=$\sqrt{7}$-x，
在Rt△DMC中，
DM²+MC²=DC²，
则x²+（$\sqrt{7}$-x）²=2²，
整理得：2x²-2$\sqrt{7}$x+3=0，
解得；x₁=$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$（不合题意舍去），
即点D到PC的距离为：$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{{1+\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定等，认真识图，数形结合是解答此题的关键．