Question

13．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax²+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，运动速度为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可以得到点A的坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x-1）²+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；
（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=-2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4-t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4-$\frac{{t}^{2}}{4}$、点A到GE的距离为$\frac{t}{2}$，C到GE的距离为2-$\frac{t}{2}$；最后根据三角形的面积公式可以求得S_△ACG=S_△AEG+S_△CEG=$\frac{1}{4}$（t-2）²+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S_△ACG的最大值为1．

解答 解：（1）依题意知，点A的横坐标与点B的横坐标相同，点A的做那个坐标与点D的纵坐标相同，即A（1，4）．
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）²+4，
解得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3．
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t）．
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+$\frac{t}{2}$．
∴点G的横坐标为1+$\frac{t}{2}$，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
∴GE=（4-$\frac{{t}^{2}}{4}$）-（4-t）=t-$\frac{{t}^{2}}{4}$．
又∵点A到GE的距离为$\frac{t}{2}$，C到GE的距离为2-$\frac{t}{2}$，
即S_△ACG=S_△AEG+S_△CEG
=$\frac{1}{2}$•EG•$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2}$•EG（2-$\frac{t}{2}$）
=$\frac{1}{2}$•2（t-$\frac{{t}^{2}}{4}$）
=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+1．
即S_△ACG=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+1．
当t=2时，S_△ACG的最大值为1．

点评 本题考查了二次函数的综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法．