Question

13．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动多少秒后，△AMN为等腰三角形？
（2）点M、N运动多少秒后，△AMN为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=2AN或2AM=AN三角形ANM就是直角三角形．

解答 解：（1）∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵△AMN为等腰三角形，
∴△AMN是等边三角形，
设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12-2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等腰三角形△AMN．
（2）①当∠ANM=90°时，
∵∠A=60°，
∴∠AMN=30°，如图2，
∴AM=2AN，
设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，如图2，
AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，
∴t=2（12-2t），
∴t=$\frac{24}{5}$；
②当∠AMN=90°时，
∵∠A=60°，
∴∠ANM=30°，
∴2AM=AN，
∴2t=12-2t，
∴t=3，
∴点M、N运动$\frac{24}{5}$或3秒后，△AMN为直角三角形．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．