Question

15．如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．

Answer 1

分析 延长AE到M，使EM=AE，连结DM，由SAS证明△DEM≌△CEA，得出∠C=∠MDE，DM=AC，证出DM=BD，∠ADM=∠ADB，由SAS证明△ADB≌△ADM，得出∠BAD=∠MAD即可．

解答 证明：延长AE到M，使EM=AE，连结DM，如图所示：
∵E是DC的中点，
∴AE=CE，
在△DEM和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{EM=AE}&{\;}\\{∠DEM=∠CEA}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△CEA（SAS），
∴∠C=∠MDE，DM=AC，
又BD=DC=AC，
∴DM=BD，∠ADC=∠CAD，
又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，
∴∠ADM=∠ADB，
在△ADB和△ADM中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}&{\;}\\{∠ADB=∠ADM}&{\;}\\{BD=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴∠BAD=∠MAD，
即AD平分∠BAE

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，需要作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．