Question

9．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请只用一把无刻度直尺作图：①线段AB上画出点P，使AP=$\frac{\sqrt{17}}{3}$；②作△ABC，使点C落在格点上，并且使△ABC的面积为6（只作一个）；③作线段CD=$\frac{12\sqrt{17}}{17}$．
请在图上标注字母，并写出结论．

Answer 1

分析 ①连接MN交AB于点P，点P即为所求；由勾股定理求出AB，由平行线得出△AMP∽△BNP，得出对应边成比例，求出AP即可；
②由△ABC的面积=6=$\frac{1}{2}$×4×3，得出AC=3，画出图形即可；
③连接CF，交AB于D，CD即为所求；由SAS证明△ABE≌△CFG，得出∠BAE=∠FCG，证出∠ADC=90°，得出CD⊥AB，由△ABC的面积求出CD即可．

解答 解：①如图1所示：
连接MN交AB于点P，点P即为所求；理由如下：
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵AM∥BN，
∴△AMP∽△BNP，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{AM}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴AP=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{\sqrt{17}}{3}$；
②如图2所示：
③如图3所示：
连接CF，交AB于D，CD即为所求；理由如下：
在△ABE和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=FG=1}&{\;}\\{∠AEB=∠CGF=90°}&{\;}\\{AE=CG=4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFG（SAS），
∴∠BAE=∠FCG，
∴∠FCG+∠BAC=∠BAE+∠BAC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴CD=$\frac{12\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．