Question

14．抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点．
①当PA+PC最小时，求点P的坐标；
②当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）求出直线BC与对称轴的交点就是点P．
（3）分三种情形讨论：①当∠ACP₁=90°时，求出直线P₁C为y=-$\frac{1}{3}$x+3即可．②当∠CAP₂=90°，求出直线AP₂为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$即可．③当∠AP₃C=90°时，作CE⊥对称轴于E，设P（1，k），由△P₃CE∽△AP₃F得到$\frac{CE}{{P}_{3}F}$=$\frac{E{P}_{3}}{AF}$，即可解决问题．

解答 解：（1）把点A（-1，0）和C（0，3），代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故抛物线解析式为y=-x²+2x+3．
（2）①设直线BC为y=kx+b，直线BC与对称轴的交点就是点P．
∵抛物线对称轴x=1，点B坐标（3，0），则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC为y=-x+3，与对称轴的交点为（1，2），
∴点P坐标（1，2）．
②当∠ACP₁=90°时，
∵直线AC解析式为y=3x+3，
∴直线P₁C为y=-$\frac{1}{3}$x+3，
∴点P₁（1，$\frac{8}{3}$）．
当∠CAP₂=90°，直线AP₂为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∴点P₂（1，-$\frac{2}{3}$）．
当∠AP₃C=90°时，作CE⊥对称轴于E，设P（1，k）
由△P₃CE∽△AP₃F得到$\frac{CE}{{P}_{3}F}$=$\frac{E{P}_{3}}{AF}$，
∴$\frac{1}{k}$=$\frac{3-k}{2}$，
∴k=1或2，
∴点P坐标（1，1）或（1，2）．
综上所述点P坐标（1，1）或（1，2）或（1，$\frac{8}{3}$）或（1，-$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查二次函数性质、最小值问题、直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论思想，利用一次函数解决问题，属于中考常考题型．