Question

6．以O为原点的平面直角坐标系中，x+y=100分别与直线y=3x，直线y=$\frac{1}{3}$x交于点A，B，求△ABO内坐标为整数的点（包括边界）．

Answer 1

分析 解两个函数的解析式组成的方程组即可求得交点A、B的坐标，然后根据S_△ABO=S_梯形ACDB+S_△BDO-S_△ACO列式计算求得三角形AOB的面积，就可求得整数点的个数．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=100}\\{y=3x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=25}\\{y=75}\end{array}\right.$，
∴A（25，75）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=100}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=75}\\{y=25}\end{array}\right.$，
∴B（75，25）；
∴S_△ABO=S_梯形ACDB+S_△BDO-S_△ACO，
∵S_△BDO=S_△ACO，
∴S_△ABO=S_梯形ACDB，
=$\frac{1}{2}$（25+75）（75-25）
=2500；
∴△ABO内坐标为整数的点（包括边界）有2500个．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题，坐标与图形性质，三角形的面积，根据图形用梯形和直角三角形的面积表示出△ABO的面积是解题的关键．