Question

11．如图所示，点A坐标为（4，0），矩形OACD的两边AC与CD分别交双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）于B，E两点，记$\frac{BC}{AB}$=k，过点C作CP∥BE交x轴于点P．
（1）当k=1时，点B坐标为（4，1），点E坐标为（2，2），点P坐标为（8，0）．
（2）当k=2时，点B坐标为（4，1），点E坐标为（$\frac{4}{3}$，3），点P坐标为（8，0）．
（3）当k值变化时，判断点P的坐标是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标以及矩形的性质可得出点B的坐标，结合k的值即可得出点C的坐标以及点E的坐标，再根据线段CE、DE之间的关系利用平行线的判定定理找出BE∥AD，即可得出CP∥AD，进而可得出四边形APCD为平行四边形，根据平行四边形的性质结合点A的坐标即可得出点P的坐标，此题得解；
（2）根据点A的坐标以及矩形的性质可得出点B的坐标，结合k的值即可得出点C的坐标以及点E的坐标，再根据线段CE、DE之间的关系利用平行线的判定定理找出BE∥AD，即可得出CP∥AD，进而可得出四边形APCD为平行四边形，根据平行四边形的性质结合点A的坐标即可得出点P的坐标，此题得解；
（3）连接AD，根据k的值可得出点C的坐标以及点E的坐标，再根据线段CE、DE之间的关系利用平行线的判定定理找出BE∥AD，即可得出CP∥AD，进而可得出四边形APCD为平行四边形，由此即可得出点P的坐标为定值．

解答 解：（1）∵点A坐标为（4，0），四边形OACD为矩形，
∴点B的横坐标为4，
∵点B在交双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）上，
∴点B的坐标为（4，1）．
∵$\frac{BC}{AB}$=k=1，
∴点C的坐标为（4，2），点E的坐标为（2，2），
∴CE=2，DE=2．
连接AD，则$\frac{CE}{DE}$=1，
∴BE∥AD，
∵CP∥BE，
∴CP∥AD，
∵CD∥AP，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴AP=CD=OA=4，
∴点P的坐标为（8，0）
故答案为：（4，1）；（2，2）；（8，0）．
（2）∵点A坐标为（4，0），四边形OACD为矩形，
∴点B的横坐标为4，
∵点B在交双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）上，
∴点B的坐标为（4，1）．
∵$\frac{BC}{AB}$=k=2，
∴点C的坐标为（4，3），点E的坐标为（$\frac{4}{3}$，3），
∴CE=$\frac{8}{3}$，DE=$\frac{4}{3}$．
连接AD，则$\frac{CE}{DE}$=2，
∴BE∥AD，
∵CP∥BE，
∴CP∥AD，
∵CD∥AP，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴AP=CD=OA=4，
∴点P的坐标为（8，0）
故答案为：（4，1）；（$\frac{4}{3}$，3）；（8，0）．
（3）点P的坐标不变，理由如下：
连接AD，当$\frac{BC}{AB}$=k时，B（4，1），
∴AC=k+1，
∴点E的坐标为（$\frac{4}{k+1}$，k+1），
∴DE=$\frac{4}{k+1}$，EC=4-$\frac{4}{k+1}$=$\frac{4k}{k+1}$，
∴$\frac{EC}{DE}$=k，
∴BE∥AD．
∵CP∥BE，
∴CP∥AD，
∵CD∥AP，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴AP=CD=OA=4，
∴点P的坐标为（8，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是找出四边形APCD为平行四边形．