Question

10．四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，AD∥BC，DE∥CA交BA的延长线于点E，求证：ED•AB=EA•BD．

Answer 1

分析 由平行线的性质得出∠BAC=∠AED，∠EDA=∠CAD，∠CAD=∠ACB，得出∠EDA=∠ACB，证出△AED∽△BAC，得出对应边成比例$\frac{ED}{EA}=\frac{AC}{AB}$，再由等腰梯形的性质得出BD=AC，得出$\frac{ED}{EA}=\frac{BD}{AB}$，即可得出结论．

解答 证明：∵DE∥CA，AD∥BC，
∴∠BAC=∠AED，∠EDA=∠CAD，∠CAD=∠ACB，
∴∠EDA=∠ACB，
∴△AED∽△BAC，
∴$\frac{ED}{EA}=\frac{AC}{AB}$，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD，
∴BD=AC，
∴$\frac{ED}{EA}=\frac{BD}{AB}$，
∴ED•AB=EA•BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质；熟练掌握等腰梯形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．