Question

16．已知二次函数y=mx²-nx+n-2（n＞0，m≠0）的图象经过A（2，0）．
（1）用含n的代数式表示m；
（2）求证：二次函数y=mx²-nx+n-2的图象与x轴始终有2个交点；
（3）设二次函数y=mx²-nx+n-2的图象与x轴的另一个交点为B（t，0）．
①当n取n₁，n₂时，t 分别为t₁，t₂，若n₁＜n₂，试判断t₁，t₂的大小关系，并说明理由．
②若t为整数，求整数n的值．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0）代入y=mx²-nx+n-2，即可用含n的代数式表示m；
（2）只需证明△=（-n）²-4m（n-2）＞0即可；
（3）①根据题意用含n的代数式表示t，可得t₁-t₂=$\frac{2{n}_{1}-4}{{n}_{1}+2}$-$\frac{2{n}_{2}-4}{{n}_{2}+2}$=$\frac{8（{n}_{1}-{n}_{2}）}{（{n}_{1}+2）（{n}_{2}+2）}$，依此可得t₁-t₂＜0，从而求解；
②t=$\frac{2n-4}{n+2}$=2-$\frac{8}{n+2}$，因为t为整数且n＞0，可得n+2＞2，得到n+2=4或n+2=8，解方程即可求解．

解答 解：（1）把A（2，0）代入y=mx²-nx+n-2，得4m-2n+n-2=0，m=$\frac{n+2}{4}$；
（2）∵△=（-n）²-4m（n-2）=n²-4×$\frac{n+2}{4}$×（n-2）=n²-n²+4=4＞0，
∴二次函数y=mx²-nx+n-2的图象与x轴始终有2个交点；
（3）①依题意可知t=$\frac{2n-4}{n+2}$；
所以t₁-t₂=$\frac{2{n}_{1}-4}{{n}_{1}+2}$-$\frac{2{n}_{2}-4}{{n}_{2}+2}$=$\frac{8（{n}_{1}-{n}_{2}）}{（{n}_{1}+2）（{n}_{2}+2）}$，
因为n₁＜n₂，所以n₁-n₂＜0，
又因为n＞0，
所以n₁+2＞0，n₂+2＞0，
所以t₁-t₂＜0，
所以t₁＜t₂；
②t=$\frac{2n-4}{n+2}$=2-$\frac{8}{n+2}$，
因为t为整数且n＞0，
所以n+2＞2，
所以n+2=4或n+2=8
所以n=2或n=6．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点．解答本题的关键是根据根的判别式△＞0证明抛物线与x轴有两个交点．