Question

1．如图，把抛物线y=$\frac{1}{2}$x²平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-8，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²交于点Q，则图中阴影部分的面积为32．

Answer 1

分析 连结OQ、OP，如图，先利用交点时写出平移后的抛物线m的解析式，再用配方得到顶点式y=$\frac{1}{2}$（x+4）²-8，则P点坐标为（-4，-8），抛物线m的对称轴为直线x=-4，于是可计算出Q点的坐标为（-4，8），所以点Q与P点关于x轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算．

解答 解：连结OQ、OP，如图，
平移后的抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+8）•x=$\frac{1}{2}$x²+4x=$\frac{1}{2}$（x+4）²-8，
所以P点坐标为（-4，-8），
抛物线m的对称轴为直线x=-4，
当x=-4时，y=$\frac{1}{2}$x²=8，则Q点的坐标为（-4，8），
由于抛物线y=$\frac{1}{2}$x²向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到抛物线y=$\frac{1}{2}$（x+4）²-8，
所以图中阴影部分的面积=S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×4×（8+8）=32．
故答案为32．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．