Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求△AOB的面积；
（2）如果tan∠OBA=

1

2

，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），由P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上任意一点，易得mn=12，继而可求得S_△AOB=

1

2

BO•OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24；
（2）由tan∠OBA=

1

2

，可得

OA

OB

=

1

2

，又由S_△AOB=

1

2

BO•OA=24；即可求得OA与OB的长，继而求得答案．

解答：解：（1）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上一点，
∴mn=12．
则OM=m，ON=n．
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，P为圆心，
∴点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO•OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24；

（2）∵tan∠OBA=

1

2

，
∴

OA

OB

=

1

2

，
∵S_△AOB=

1

2

BO•OA=24；
∴OA=2

6

，OB=4

6

，
∴OM=

1

2

OA=

6

，ON=

1

2

OB=2

6

，
∴点P的坐标为：（

6

，2

6

）．

点评：此题考查了反比例函数的性质、垂径定理、圆周角定理以及反比例函数K的几何意义．此题难度适中，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．