Question

△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，E点和F点分别在AC和BC边上，且CE=CF，AF与BE交于G点，
（1）求证：∠CAF=∠EBC；
（2）若∠AGE=45°，延长CG交BA于H点，求证：AE=2HG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）利用“边角边”证明△ACF与△BCE全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；
（2）取EB中点M，连结HM，根全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，然后求出∠CAB=∠ABC，再求出∠3=∠4，根据等角对等边可得AG=BG，再利用“边角边”证明△ACG和△BCG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACG=∠BCG=45°，判断出H点为AB边中点，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得HM=

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AE且HM∥AE，再根据平行线的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及对顶角相等求出∠7=∠8，根据等角对等边可得HG=HM，从而得证．

解答：证明：（1）△ACF与△BCE中，

AC=BC ∠ACF=∠BCE=90° CE=CF

，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴∠CAF=∠EBC；

（2）取EB中点M，连结HM，
由（1）得：∠1=∠2，
又∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠ABC，
∴∠3=∠4，
∴AG=GB，
在△ACG和△BCG中，

AC=BC ∠1=∠2 AG=GB

，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴H点为AB边中点，
∴HM是△ABE的中位线，
∴HM=

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AE且HM∥AE，
∴∠5=∠8，
又∵∠AGE=45°，
∴∠5=45°+∠1，
又∵∠6=∠7=45°+∠2，
∴∠7=∠8，
∴HM=HG，
∴AE=2HG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形和三角形的中位线．