题目内容

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5cm，BC=12cm，CD= $数学公式$ cm，∠C=45°，点P从B点出发，沿着BC方向以1cm/s运动，到达点C停止，设P运动了ts．
（1）当t为何值时以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当t为何值时以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？如能，请求出t值，如不能请说明理由．

解：（1）如图1，过点A作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，当点P运动到M、N时为直角梯形，
∵CD=4 $\text{[math]}$ cm，∠C=45°，
∴NC=4cm，
∵AD=5cm，
∴MN=AD=5cm，
①点P运动到M处时，AP⊥BC，BP=BM=BC-NC-MN=12-4-5=3cm，
∵点P的运动速度是1cm/s，
∴t=3÷1=3s；
②当点P运动到点N处时，DP⊥BC，
BP=BC-CN=12-4=8，

∴t=8÷1=8s；

（2）如图2，①当点P在点E的左边，AD=PE时，四边形APED是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴BE= $\text{[math]}$ BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴BP=BE-PE=6-5=1cm，
∴t=1÷1=1s；
②当点P在点E的右边，PE=AD时，四边形AEPD是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴EC= $\text{[math]}$ BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴PC=EC-PE=6-5=1cm，
∴BP=BC-PC=12-1=11cm，
∴t=11÷1=11s；

（3）能是菱形．
如图3，过点D作DN⊥BC，垂足为N，若为菱形，必须是平行四边形，所以在（2）中两种情形中，
①四边形APED是平行四边形时，

∵CD=4 $\text{[math]}$ cm，∠C=45°，
∴DN=4，EN=EC-CN=6-4=2，
∴DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ cm，
∵AD=5cm，
∴AD≠DE，
∴平行四边形APED不是菱形；
②四边形AEPD是平行四边形时，
DN=4cm，PC=1cm，
∴PN=NC-PC=4-1=3cm，
∴DP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5cm，
∵AD=DP=5cm，
∴平行四边形AEPD是菱形；
综上所述，当t=11s时是菱形．
分析：（1）分AP⊥BC与DP⊥BC两种情况，求出BP的长度，然后根据时间=路程÷速度进行计算求解；
（2）根据平行四边形对边平行且相等，分点P在点E的左边与右边两种情况，PE=AD=5，然后求出BP的长度，再根据路程、时间、速度的关系求解；
（3）根据菱形是平行四边形，对（2）中的两种情况求出DE与PD的长度，如果等于AD的长度5，则是菱形，否则不是．
点评：本题主要考查了直角梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的运用，需要注意分点P在点E的左边与右边两种情况进行讨论求解．