Question

在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠CPB有什么关系？请说明你的结论．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理

专题：

分析：（1）根据垂径定理知，

CD

=2

BC

，由圆周角定理知，

BC

的度数等于∠BOC的度数，

AD

的度数等于∠CPD的2倍可得出结论；
（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°-∠CPD，而∠CPD=∠COB，故∠CP′D+∠COB=180°．

解答：（1）证明：如图所示，连接OD．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴∠COB=∠DOB=

1

2

∠COD．
又∵∠CPD=

1

2

∠COD，
∴∠CPD=∠COB；

（2）解：∠CP'D与∠COB的数量关系是∠CP'D+∠COB=180°．
理由：∵∠CPD=

1

2

∠COD，∠CP'D=

1

2

（360°-∠COD）=180°-

1

2

∠COD，
∴∠CPD+∠CP'D=180°
由（1）知，∠CPD=∠COB，
∴∠CP'D+∠COB=180°．

点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．