Question

如图，锐角△ABC内接于⊙O，作BD⊥AC于点D．过圆心O作OM⊥AB于点M，已知cosC=

2

7

，OM=1，则⊙O的半径是

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理,解直角三角形

专题：

分析：连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN，则OM是△ABN的中位线，根据圆周角定理即可得∠C=∠N，再由OM=1可得出BN的长，由cosC=

2

7

得出AN的长，进而可得出结论．

解答： 解：连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN．
∵AN是直径，
∴∠ABN=90°，
∵∠C与∠N是同弧所对的圆周角，
∴∠C=∠N，
∵OM⊥AB，点O是AN的中点，
∴OM是△ABN的中位线．
∴NB=2OM=2．
∵cosC=

2

7

，
∴

NB

AN

=

2

7

，即

2

AN

=

2

7

，解得AN=7，
∴⊙O的半径=

7

2

．
故答案为：

7

2

．

点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．