Question

如图所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D、E，⊙O与AB相交于点F，连接DF并延长交CB的延长线于点G．
（1）求证：∠BFG=∠BGF；
（2）求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积．（阴影部分）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OD．根据切线的性质得到OD⊥AC，则OD∥BC；可得∠ODF=∠G，再结合对顶角相等和等边对等角得到∠BFG=∠BGF．
（2）阴影部分的面积=直角三角形CDG的面积-（正方形的面积-扇形ODE的面积）．根据等腰直角三角形的性质可求出有关边AB、OD的长，以及圆心角∠DOE的度数．进而可根据扇形的面积和直角三角形的面积求得阴影部分的面积．

解答：解：（1）∵OD=OF（⊙O的半径），
∴∠ODF=∠OFD；
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC；
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴OD∥GC，
∴∠BGF=∠ODF；
又∵∠BFG=∠OFD，
∴∠BFG=∠BGF．

（2）连OE，
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∵AO=BO=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=2

2

，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=2

2

-2；
从而CG=CB+BG=2

2

+2；
∴S_阴影=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=

1

2

×2×（2+2

2

）-（2²-

1

4

π×2²）
=π-2+2

2

．

点评：此题综合考查了切线的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质及扇形的面积计算方法．