Question

6．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AD=DC，连结DE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若sinE=$\frac{1}{3}$，AC=4$\sqrt{2}$，求△ADE的周长．

Answer 1

分析 （1）要证明AB=AC，只要证明∠C=∠B即可，根据题意可以求得∠C=∠B，从而可以证明结论成立；
（2）根据锐角三角函数和sinE=$\frac{1}{3}$，AC=4$\sqrt{2}$，可以分别求出AD、DE、EA的长，从而可以求得△ADE的周长．

解答 （1）证明：∵AD=DC，
∴∠CAD=∠C，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAE=90°，
∴∠CAD+∠EAD=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠CAD=∠E，
又∵∠E=∠B，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（2）解：过点D作DF⊥AC于点F
∵DA=DC，AC=$4\sqrt{2}$，
∴CF=$\frac{1}{2}AC$=$2\sqrt{2}$，
∵∠C=∠E，sinE=$\frac{1}{3}$，
∴sinC=$\frac{1}{3}$，
∴sinC=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
设DF=a，则CD=3a，
∵CF=2$\sqrt{2}$，
∴${a}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}=（3a）^{2}$，
解得，a=1或a=-1（舍去），
∴DF=1，CD=3，
∴CD=DA=3，
∵在 Rt△ADE中，sinE=$\frac{1}{3}$，DA=3，
∴AE=9，ED=6$\sqrt{2}$，
∴△ADE的周长为：3+9+6$\sqrt{2}$=12+6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．