Question

14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=$\frac{4}{5}$，BC=$\frac{6}{5}$，以AB为边向外作正方形ABDE，若此正方形中心为点O，则线段OC长为（　　）

• A． 2
• B． 1.5
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，作OM⊥BC于E，OF⊥CA于F，连接OA，OB，OC．只要证明△OAF≌△OBM，推出AF=MB，OF=OM，推出四边形OFCM是正方形，设OM=MC=CF=OF=x，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，作OM⊥BC于E，OF⊥CA于F，连接OA，OB，OC．

∵∠C=∠OFC=∠OMC=90°，
∴四边形OFCM是矩形，
∴∠FOE=∠AOB=90°，
∴∠FOA=∠EOB，
∵四边形AEDB是正方形，
∴OA=OB，
在△OAF和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OFA=∠OMB}\\{∠FOA=∠MOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△OBM，
∴AF=MB，OF=OM，
∴四边形OFCM是正方形，设OM=MC=CF=OF=x，
∴x-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$-x，
∴x=1，
∴OC=$\sqrt{2}$x=$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会设未知数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．