Question

3．观察下列各式：
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$
…
（1）猜想$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$；
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
①（$\frac{1}{100}$-1）×（$\frac{1}{99}$-1）×（$\frac{1}{98}$-1）×…×（$\frac{1}{4}$-1）×（$\frac{1}{3}$-1）×（$\frac{1}{2}$-1）
②将2016减去它的$\frac{1}{2}$，再减去余下的$\frac{1}{3}$，再减去余下的$\frac{1}{4}$，再减去余下的$\frac{1}{5}$，以此类推，直到最后减去余下的$\frac{1}{2016}$，最后结果是多少？

Answer 1

分析 （1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母；
（2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$
…
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$
故答案为：$\frac{1}{n+1}$；

（2）①原式=-$\frac{99}{100}$×（$-\frac{98}{99}$）×（-$\frac{97}{98}$）×…×（-$\frac{2}{3}$）×（-$\frac{1}{2}$）
=-$\frac{1}{100}$；                                 
②由题意得，2016×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×…×（1-$\frac{1}{2016}$）=2016×$\frac{1}{2016}$
=1．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．