Question

如图，C为BE上一点，以BC、CE为边向线段BE同侧作等边△ABC、等边△CDE，BD交AC于M，交AE于点G，AE交CD于N，连接CG．
（1）若BD=6，求AE的长；
（2）求证：EG=CG+DG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质证明△ACE≌△BCD就可以得出AE=BD，而得出结论；
（2）在EG上截取FE=DG，连接CF，CG，在等边△ABC和等边△DCE中，证△DGC≌△EFC，推出CG=CF，∠GCD=∠FCE，得出等边三角形GCF，推出CG=GF即可．

解答：解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=DC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠DCB=∠ACE．
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD DC=EC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．
∵BD=6，
∴AE=6．
答：AE=6．
（2）证明：在EG上截取FE=DG，连接CF，CG，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠DCE=∠BCA=60°，
∴∠DCE+∠DCM=∠BCA+∠DCM，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠BDC=∠AEC，
在△DGC和△EFC中，

DG=EF ∠GDC=∠FEC DC=EC

∴△DGC≌△EFC（SAS），
∴CG=CF，∠GCD=∠FCE，
∵∠FCE+∠FCD=60°，
∴∠GCD+∠FCD=60°，即∠GCF=60°
∴△GCF为等边三角形，
∴CG=GF，
∴GE=GF+FE=GD+CG，
即EG=CG+DG．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的运用，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．