Question

13．在△ABC中，AB=AC，点D在BC边所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于E，DF∥AB交直线AC于点F，当点D在边BC上时，如图①，此时DE、DF、AC满足DE+DF=AC．
（1）当点D在BC的延长线或方向延长线上时，如图②、如图③，此时，DE、DF、AC分别存在怎样的数量关系？请写出来，并选择一个加以证明．
（2）若AC=6，DE=4，则DF=2．

Answer 1

分析 （1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DCF和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）根据（1）中的结论代入数据直接求解．

解答 解：（1）图②③中：AC+DF=DE．
证明：图②结论：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE．
∵DE∥AC，
∴∠CDF=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠CDF=∠ACB，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠CDF=∠DCF，
∴DF=CF，
∴AC+DF=AF=DE；
同理可证出图③结论：AC+DF=AF=DE．
（2）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；
当如图②③的情况，DF=DE-AC=4-6=-2（舍去）．
故答案为：2．

点评 本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质依据平行线的判定及性质，解题的关键是：（1）证出AC+DF=AF=DE；（2）代入数据直接求解．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的判定即性质找出相等的边角关系是关键．