Question

8．如图矩形ABCD中，AD=1，CD=$\sqrt{3}$，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AC=2，由三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根据图形的面积即可得到结论．

解答 解：在矩形ABCD中，
∵AD=1，CD=$\sqrt{3}$，
∵AC=2，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°，
∵线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，
∴∠CAE=∠BAF=90°，
∴∠BAG=60°，
∵AG=AB=$\sqrt{3}$，
∴阴影部分面积=S_△ABC+S_扇形ABG-S_△ACG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{60•π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2=$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{π}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了扇形的面积计算，矩形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．