Question

15．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x轴与y轴上，D为OA上一点，且CD=AD．
（1）求点D的坐标；
（2）若经过B、C、D三点的抛物线与x轴的另一个交点为E，请直接写出点E的坐标；
（3）在（2）中的抛物线上位于x轴上方的部分，是否存在一点P，使△PBC的面积等于四边形DCBE的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设OD=x，则AD=CD=8-x，在Rt△COD中由OC²+OD²=CD²列方程求解可得；
（2）根据点（0，-4）、B（8，-4）、D（3，0）利用待定系数法求出解析式后，令y=0解之可得；
（3）由抛物线的对称性可知．以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大，求出四边形DCBE的面积，比较后即可得出答案．

解答 解：（1）设OD=x，则AD=CD=8-x，
在Rt△COD中，∵OC²+OD²=CD²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴点D的坐标为（3，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将点C（0，-4）、B（8，-4）、D（3，0）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{64a+8b+c=-4}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{15}}\\{b=\frac{32}{15}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x-4，
当y=0时，-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x-4=0，
解得：x₁=3、x₂=5，
∴点E的坐标为（5，0）．

（3）在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．
理由是：由抛物线的对称性可知．以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大．
由y=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x+4=-$\frac{4}{15}$（x-4）²+$\frac{4}{15}$可得，顶点坐标为（4，$\frac{4}{15}$）．
则△PBC高的最大值为4+$\frac{4}{15}$=$\frac{64}{15}$．
∴△PBC的最大面积为$\frac{1}{2}$×8×$\frac{64}{15}$=$\frac{256}{15}$，
∵四边形DCBE的面积为$\frac{1}{2}$×（2+8）×4=20，
∴△PBC的最大面积小于四边形DCBE的面积．
故在x轴上方且在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用已知得出以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大求出是解决问题的关键．