Question

17．关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a，①}\\{{y}^{2}=2x②}\end{array}\right.$有两组不同的实数解$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{2}}\\{y={y}_{2}}\end{array}\right.$（x₁x₂≠0），且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 根据题意可以得到关于x的一元二次方程，然后根据题目中的条件可以求得a的值．

解答 解：∵关于x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a，①}\\{{y}^{2}=2x②}\end{array}\right.$有两组不同的实数解$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y={y}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{2}}\\{y={y}_{2}}\end{array}\right.$（x₁x₂≠0），
∴（x+a）²=2x，
∴x²+（2a-2）x+a²=0，
∴${x}_{1}{x}_{2}={a}^{2}$，x₁+x₂=2-2a，△=（2a-2）²-4a²＞0，
∴a＜$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{3}{2}$，
即$\frac{2-2a}{{a}^{2}}=\frac{3}{2}$，
解得，${a}_{1}=-\frac{4}{3}$，a₂=1（舍去），
即a的值是-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查高次方程、二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道根与系数的关系．