Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点为点C（1，m）．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过点B作直线BD∥x轴，交双曲线于点D，在x轴上存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D和点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标与图形的关系求出m，利用待定系数法计算即可；
（2）分AB∥DP和PB∥DA两种情况，根据平行四边形的判定定理解答即可．

解答 解：（1）∵点C（1，m）在直线y=2x+2上，
∴m=4，
∵点C（1，4）在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴k=4．
∴双曲线的表达式为$y=\frac{4}{x}$；
（2）当x=0时，y=2x+2=0，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD∥x轴，
∴点D的横坐标为2，
∴点D的坐标是（2，2），
当y=2时，2x+2=0，
解得，x=-1，
则当A的坐标为（-1，0），
∴当AB∥DP时，点P的坐标为（1，0），
当PB∥DA时，点P的坐标为（-3，0），
∴点P的坐标为（1，0）或（-3，0）时，以点A，B，D，P为顶点的四边形为平行四边形．

点评 本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题、平行四边形的判定，掌握待定系数法求函数解析式、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．