Question

十进制中，四位数能满足下列条件的就叫做“和谐平方数”：
①它的数字都不为零；
②它是一个完全平方数； 
③这个数的前两位数字，后两位数字都是完全平方数（看做两位数时），
问这样的“和谐平方数“的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：完全平方数,平方差公式,不等式的性质

专题：新定义

分析：由②可设该“和谐平方数”为a²，由③可设该“和谐平方数”前两位数字构成的两位数为b²，后两位数字构成的两位数为c²，则100b²+c²=a²．由①可知：b，c为正整数，且4≤b≤9，4≤c≤9．由100b²+c²=a²得（a+10b）（a-10b）=c²．设a+10b=x，a-10b=y（x、y为正整数），则xy=c²，x-y=20b．利用不等式的性质可得80＜c²≤81，从而得到c的值，进而得到b的值，就可求出这个“和谐平方数”，就可解决问题．

解答：解：由②可设该“和谐平方数”为a²，
由③可设该“和谐平方数”前两位数字构成的两位数为b²，后两位数字构成的两位数为c²，
则100b²+c²=a²．
由①可知：b，c为正整数，且4≤b≤9，4≤c≤9．
∵100b²+c²=a²，
∴a²-100b²=c²．
∴（a+10b）（a-10b）=c²．
设a+10b=x，a-10b=y，（x、y为正整数）
则xy=c²，x-y=20b．
∴c²≥x＞20b≥80．
∵c≤9，
∴c²≤81．C L
∴80＜c²≤81．
∴c=9．
∴80≤20b＜81．
∴b=4．
∴a²=100b²+c²=1681，此时a=41．
∴这样的“和谐平方数”为1681，只有一个．
故选：A．

点评：考查了完全平方数，本题主要用的是平方差公式以及不等式的性质等知识，而利用不等式的性质得到c²的范围是解决本题的关键．