Question

【题目】如图，点为的平分线上一点，于，，求证：.

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质就可以得出PC＝PD，根据HL可以判定Rt△PCO≌Rt△PDO，从而可得OC＝OD，然后根据AAS得出△ACP≌△BDP，从而得到AC＝BD，进而得出OA＋OB＝2OC．

证明：作PD⊥OB于D．

∴∠PDO＝90°．

∵P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA

∴PC＝PD，∠PCA＝90°．

∴∠PCA＝∠PDO．

在Rt△PCO和Rt△PDO中，，

∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），

∴OC＝OD．

∵∠OBP＋∠DBP＝180°，且∠OAP＋∠OBP＝180°，

∴∠OAP＝∠DBP．

在△ACP和△BDP中，，

∴△ACP≌△BDP（AAS），

∴AC＝BD．

∴OA＋OB＝AC＋OC＋BO＝BD＋BO＋OC＝DO＋OC＝2OC.