Question

已知：在△ABC中，∠C=90°，三边长为a，b，c，△ABC的内切圆半径为r，求证：
（1）r=

1

2

（a+b-c）；
（2）r=

ab

a+b+c

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，再证明四边形CEOF为正方形，所以CE=CF=r，然后根据切线长定理得AE=AD=b-r，BF=BD=a-r，则b-r+a-r=c，所以r=

1

2

（a+b-c）；
（2）连结OA、OB、OC，如图，根据三角形面积公式和S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB得到

1

2

•r•c+

1

2

•r•a+

1

2

•r•b=

1

2

•a•b，然后变形即可得到结论．

解答：证明：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF=r，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEOF为正方形，
∴CE=CF=r，
∴AE=AD=b-r，BF=BD=a-r，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

1

2

（a+b-c）；
（2）连结OA、OB、OC，如图，
∵S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=S_△AOB，
∴

1

2

•r•c+

1

2

•r•a+

1

2

•r•b=

1

2

•a•b，
∴r=

ab

a+b+c

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．熟练运用切线的性质．