Question

3．如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽CD=2米，坡度由原来的$\sqrt{3}$：1改为1：1，已知背水坡BC长12米．
（1）求原背水坡的坡角α和加宽后的坡角β的度数；
（2）求加宽后水坝的横截面面积增加了多少？

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，根据加宽前后的坡度求出坡角；
（2）在△BCE和△ADF中分别利用三角函数的知识求出CE、BE、AF的长度，进而可求出横截面积．

解答 解：（1）过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，
∵tanα=$\sqrt{3}$，tanβ=1，
∴α=60°，β=45°；

（2）在Rt△BCE中，
∵$\frac{CE}{12}$=sin60°，$\frac{BE}{12}$=cos60°，
∴CE=6$\sqrt{3}$，BE=6，BF=BE-EF=4，
在Rt△ADF中，
∵DF=6$\sqrt{3}$，且$\frac{6\sqrt{3}}{AF}$=tan45°，
∴AF=6$\sqrt{3}$，
∴AB=6$\sqrt{3}$-4，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$（2+6$\sqrt{3}$-4）×6$\sqrt{3}$=54-6$\sqrt{3}$（米²）．
答：加宽后水坝的横截面面积增加了（54-6$\sqrt{3}$）米²．

点评 本题考查了解直角三角线的应用，解答本题的关键是根据所给的坡度求出坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．