Question

1．如图，在△ABC中．∠B=60°，⊙0是△ABC的外接圆．过点A的直线交CO的延长线于点P，CP交⊙O于点D，且满足PA²=PD•PC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若AC=3，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）连接AO，AD，根据PA²=PD•PC可得出△APD∽△CPA，由相似三角形的性质可得出∠PAD=∠PCA，再由圆周角定理得出∠DAC=90°，利用等量代换即可得出结论；
（2）先由圆周角定理得出∠ADC=60°，再由三角形外角的性质得出∠PAD=30°，故可得出AD=PD．根据锐角三角函数的定义求出AD的长，进而可得出结论．

解答 （1）证明：如图，连接AO，AD，
∵PA²=PD•PC，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PC}{PA}$．
∵∠APD=∠CPA，
∴△APD∽△CPA，
∴∠PAD=∠PCA．
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，即∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠OAD+∠PAD=90°，即∠PAO=90°，
∴PA是⊙O的切线．

（2）解：∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°．
∵∠DAC=90°，
∴∠ACD=30°，即∠PAD=30°，
∴∠P=∠ADC-∠PAD=60°-30°=30°，
∴AD=PD．
在Rt△ADC中，tan∠ADC=$\frac{AC}{AD}$，
∵AC=3，∠ADC=60°，
∴AD=$\frac{AC}{tan∠ADC}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，即PD=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．