Question

已知关于x的方程7x³-7（p+2）x²+（44p-1）x+2=60p（*）
①求证：不论p为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数．
②设方程另外的两个根为u、v，求u、v的关系式．
③若方程（*）的三个根均为自然数，求p的值．

Answer 1

分析：①把方程整理，使含p的项“系数”为0，求x的值，再代入不含p的项检验，可求这个自然数；
②由所求自然数值可知方程的一个因式，代入方程，再将方程分解因式，由两根关系解题；
③在（2）的条件下，根据解为自然数，求p的值．

解答：解：①原方程整理得：（7x³-14x²-x+2）-（7x²-44x+60）p=0
解方程7x²-44x+60=0得x₁=2，x₂=

30

7

，
当x=2时，7x³-14x²-x+2=0，故所求自然数为2；
②∵x=2是方程的固定解，
∴（x-2）是方程的一个因式，原方程分解为，
（x-2）（7x²-7px+30p-1）=0
∴u、v是方程7x²-7px+30p-1=0的两根，
∴u+v=p，uv=

30p-1

7

．
③由②可知，当p=18时，方程三个根均为自然数．

点评：本题考查了求高次方程固定根的方法，方程的根与系数关系，自然数解的问题．